[알고리즘] 정렬 (2)

* 본 포스팅은 나동빈 - 이코테 2021 강의 몰아보기 에서 학습한 내용을 포스팅합니다.

---

출처

동빈나 이코테

 

 

https://kks2140501.tistory.com/37

[알고리즘] 정렬 (1)

 

---

 

■ 퀵 정렬

● 기준 데이터를 설정하고 그 기준보다 큰 데이터와 작은 데이터의 위치를 바꾸는 방법

● 일반적인 상황에서 가장 많이 사용되는 정렬 알고리즘 중 하나

● 병합 정렬과 더불어 대부분의 프로그래밍 언어의 정렬 라이브러리의 근간이 되는 알고리즘

● 가장 기본적인 퀵 정렬은 첫 번째 데이터를 기준 데이터(Pivot)로 설정

 

 

 

 

■ 퀵 정렬이 빠른 이유: 직관적인 이해

● 이상적인 경우 분할이 절반씩 일어난다면 전체 연산 횟수로 O(NLogN)를 기대할 수 있다.

● 너비 X 높이 = N x logN = NlogN

 

 

■ 퀵 정렬의 시간 복잡도

● 퀵 정렬은 평균의 경우 O(NlogN)의 시간 복잡도를 가진다.

● 하지만 최악의 경우 O(N²)의 시간 복잡도를 가진다.

 

● 첫 번째 원소를 피벗으로 삼을 때, 이미 정렬된 배열에 대해서 퀵 정렬을 수행한다면??

- 이미 정렬되어 있다면 첫 번째 원소인 0을 피벗으로 설정하고 왼쪽에서 큰 데이터를 찾으면 1이 되고 오른쪽에서부터 작은 데이터를 찾는데 없기 때문에 0이 골라진다. 피벗 값 자기 자신에게 자기 자신으로 변경되기 때문에 분할이 되었을 때 왼쪽 부분은 존재하지 않고 오른쪽 부분만 존재한다. 최악의 경우에는 분할이 수행되는 횟수가 N과 비례하고 분할을 하기 위해서 매번 선형 탐색을 수행해야 하기 때문에 전체 시간복잡도가 O(N²)을 가진다.

 

 

■ 퀵 정렬 소스코드(Python)

array = [5, 7, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]

def quick_sort(array, start, end):
    if start >= end:  # 원소가 1개인 경우 종료
    	return
    pivot = start # 피벗은 첫 번째 원소
    left = start + 1
    right = end
    while(left <= right):
    	# 피벗보다 큰 데이터를 찾을 때까지 반복
        while(left <= end and array[left] <= array[pivot]):
        	left += 1
        # 피벗보다 작은 데이터를 찾을 때까지 반복
        while(right > start and array[right] >= array[pivot]):
        	right -= 1
        if(left > right): # 엇갈렸다면 작은 데이터와 피벗을 교체
        	array[right], array[pivot] = array[pivot], array[right]
        else: # 엇갈리지 않았다면 작은 데이터와 큰 데이터를 교체
        	array[left], array[right] = array[right], array[left]
    # 분할 이후 왼쪽 부분과 오른쪽 부분에서 각각 정렬 수행
    quick_sort(array, start, right - 1)
    quick_sort(array, right + 1, end)
    
quick_sort(array, 0, len(array) - 1)
print(array)

 

 

■ 퀵 정렬 소스코드: 파이썬의 장점을 살린 방식

array = [5, 7, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]

def quick_sort(array):
    # 리스트가 하나 이하의 원소만을 담고 있다면 종료
    if len(array) <= 1:
    	return array
    pivot = array[0] # 피벗은 첫 번째 원소
    tail = array[1:] # 피벗을 제외한 리스트
    
    left_side = [x for x in tail if x <= pivot] # 분할 된 왼쪽 부분
    right_side = [x for x in tail if x > pivot] # 분할된 오른쪽 부분
    
    # 분할 이후 왼쪽 부분과 오른쪽 부분에서 각각 정렬 수행하고, 전체 리스트 반환
    return quick_sort(left_side) + [pivot] + quick_sort(right_side)
    
print(quick_sort(array))

 

---

 

■ 계수 정렬

● 특정한 조건이 부합할 때만 사용할 수 있지만 매우 빠르게 동작하는 정렬 알고리즘

● 계수 정렬은 데이터의 크기 범위가 제한되어 정수 형태로 표현할 수 있을 때 사용가능

● 데이터의 개수가 N, 데이터(양수) 중 최댓값이 K일 때 최악의 경우에도 수행 시간 O(N + K)를 보장한다

 

 

▲ 가장 작은 데이터부터 가장 큰 데이터까지의 모든 범위를 포함할 수 있는 크기의 배열을 만들어야 하기 때문에 상대적으로 공간복잡도가 높지만 퀵 정렬과 비교 했을 때에도 조건만 만족한다면 더 빠르게 동작하는게

특징이다.

 

 

■ 계수 정렬 소스코드(Python)

# 모든 원소의 값이 0보다 크거나 같다고 가정
array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 9, 1, 4, 8, 0, 5, 2]
# 모든 범위를 포함하는 리스트 선언(모든 값은 0으로 초기화)
count = [0] * (max(array) + 1)

for i in range(len(array)):
    count[array[i]] += 1 # 각 데이터에 해당하는 인덱스의 값 증가

for i in range(len(count)): # 리스트에 기록된 정렬 정보 확인
    for j in range(count[i]):
    	print(i, end=' ') # 띄어쓰기를 구분으로 등장한 횟수만큼 인덱스 출력

 

 

■ 계수 정렬의 시간 복잡도

● 계수 정렬의 시간 복잡도와 공간 복잡도는 모두 O(N + K) 이다.

● 계수 정렬은 때에 따라서 심각한 비효율성을 초래할 수 있다.

 

● 데이터가 0과 999,999로 단 2개만 존재하는 경우를 생각해 보자.

- 반복문을 돌면 N만큼 동작하고 원소 중에서 가장 큰 값을 의미하는 K만큼 각 인덱스를 확인하며 그 인덱스에 기록되어 있는 값만큼 출력 수행

- 0과 999,999 단 2개의 원소만 있지만 0 ~ 999,999 즉, 100만 개의 원소가 담길 수 있는 배열을 만들어야 해서 비효율적

 

---

 

■ 정렬 알고리즘 비교하기

● 앞서 다룬 4가지 정렬 알고리즘을 비교하면 다음과 같다.

● 추가적으로 대부분의 프로그래밍 언어에서 지원하는 표준 정렬 라이브러리는 최악의 경우에도 O(NlogN)을 보장하도록 설계되어 있다.

정렬 알고리즘	평균 시간 복잡도	공간 복잡도	특징
선택 정렬	O(N²)	O(N)	아이디어가 매우 간단
삽입 정렬	O(N²)	O(N)	데이터가 거의 정렬되어 있을 때는 가장 빠르다.
퀵 정렬	O(NlogN)	O(N)	대부분의 경우에 가장 적합하며, 충분히 빠르다.
계수 정렬	O(N + K)	O(N + K)	데이터의 크기가 한정되어 있는 경우에만 사용이 가능하지만 매우 빠르게 동작한다.

 

 

from random import randint
import time

# 배열에 10,000개의 정수를 삽입
array = []
for _ in range(10000):
    # 1부터 100 사이의 랜덤한 정수
    array.append(randint(1, 100))
    
# 선택 정렬 프로그램 성능 측정
start_time = time.time()

# 선택 정렬 프로그램 소스코드
for i in range(len(array)):
    min_index = i # 가장 작은 원소의 인덱스
    for j in range(i + 1, len(array)):
    	if array[min_index] > array[j]:
            min_index = j
    array[i], array[min_index] = array[min_index], array[i]
    
# 측정 종료
end_time = time.time()
# 수행 시간 출력
print("선택 정렬 성능 측정:", end_time - start_time)

# 배열을 다시 무작위 데이터로 초기화
array = []
for _ in range(10000):
    # 1부터 100 사이의 랜덤한 정수
    array.append(randint(1, 100))
    
# 기본 정렬 프로그램 성능 측정
start_time = time.time()    

# 기본 정렬 라이브러리 사용
array.sort()

# 측정 종룔
end_time = time.time()
# 수행 시간 출력
print("기본 정렬 라이브러리 성능 측정:", end_time - start_time)

 

---

 

[문제] 두 배열의 원소 교체

● N = 5, K = 3이고, 배열 A와 B가 다음과 같다고 한다.

배열 A = [1, 2, 5, 4, 3]

배열 B = [5, 5, 6, 6, 5]

 

● 이 경우, 다음과 같이 세 번의 연산을 수행할 수 있다.

연산 1) 배열 A의 원소 '1'과 배열 B의 원소 '6'을 바꾸기

연산 2) 배열 A의 원소 '2'와 배열 B의 원소 '6'을 바꾸기

연산 3) 배열 A의 원소 '3'과 배열 B의 원소 '5'을 바꾸기

 

● 세 번의 연산 이후 배열 A와 배열 B의 상태는 다음과 같이 구성될 것이다.

배열 A = [6, 6, 5, 4, 5]

배열 B = [3, 5, 1, 2, 5]

● 이때 배열 A의 모든 원소의 합은 26이 되며, 이보다 더 합을 크게 만들 수는 없다.

 

 

[문제] 두 배열의 원소 교체

● 핵심 아이디어 : 매번 배열 A에서 가장 작은 원소를 골라서, 배열 B에서 가장 큰 원소와 교체한다.

● 가장 먼저 배열 A와 B가 주어지면 A에 대하여 오름차순 정렬하고, B에 대하여 내림차순 정렬한다.

● 이후에 두 배열의 원소를 첫 번째 인덱스부터 차례로 확인하면서 A의 원소가 B의 원소보다 작을 때에만 교체를 수행.

● 이 문제에서는 두 배열의 원소가 최대 100,000개까지 입력될 수 있으므로, 최악의 경우 O(NlogN)을 보장하는 정렬 알고리즘을 이용해야 한다.

 

 

■ 답안 예시(Python)

n, k = map(int, input().split()) # N과 K를 입력 받기
a = list(map(int, input().split())) # 배열 A의 모든 원소를 입력 받기
b = list(map(int, input().split())) # 배열 B의 모든 원소를 입력 받기

a.sort() # 배열 A는 오름차순 정렬 수행
b.sort(reverse=True) # 배열 B는 내림차순 정렬 수행

# 첫 번째 인덱스부터 확인하며, 두 배열의 원소를 최대 K번 비교
for i in range(k):
    # A의 원소가 B의 원소보다 작은 경우
    if a[i] < b[i]:
    	# 두 원소를 교체
        a[i], b[i] = b[i], a[i]
    else: # A의 원소가 B의 원소보다 크거나 같을 때, 반복문을 탈출
    	break
        
print(sum(a)) # 배열 A의 모든 원소의 합을 출력