[알고리즘] 최단 경로 알고리즘 (1)

* 본 포스팅은 나동빈 - 이코테 2021 강의 몰아보기 에서 학습한 내용을 포스팅합니다.

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출처

동빈나 이코테

 

 

■ 최단 경로 알고리즘

• 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.
• 다양한 문제상황
  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

 

 

■ 다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작
  • 현실 세계의 도로(간선)는 음의 간선으로 표현되지 않는다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.

 

 

■ 다익스트라 최단 경로 알고리즘 동작 과정

• 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다.
  1. 출발 노드를 설정
  2. 최단 거리 테이블을 최기화
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
  5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.
• 알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다.
• 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 갱신한다.

▲ 4번 노드 까지 가기 위한 비용은 1로 결정이 되어서 더 이상 바뀌지 않는다. 다익스트라 알고리즘이 그리디한 방법으로 동작할 수 있는 이유는 가장 최단거리가 짧은 노드를 고를 때마다 해당 노드까지의 거리는 더 이상 바뀌지 않는다는 점 때문이다. 다시 말해 4번 노드까지 도착하기 위한 최단거리는 1이기 때문에 이와 같이 4번 노드를 거쳐갈 때에 대한 비용을 고려할 때는 4번 노드까지의 비용인 1에다가 4번 노드에서 3번 노드로 가기 위한 비용인 3을 더한 4와 비교하면 된다. 즉 이전까지는 테이블에 담겨있는 3번 노드까지의 최단거리의 값이 5라고 되어있는데 이제 4보다 더 크기 때문에 더 빨리 도착할 수 있는 방법을 찾은 것이기 때문에 더 작은 값으로 갱신할 수 있도록 한다.

마지막 노드는 처리를 하지 않아도 괜찮다. 이유는 앞서 확인했던 다른 노드까지의 최단거리 값은 더 이상 바뀌지 않기 때문에 사실 다익스트라 알고리즘을 사용할 때 마지막 노드에 대한 정보는 처리하지 않아도 전체 결과를 얻을 수 있다.

 

 

■ 다익스트라 알고리즘의 특징

• 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
  • 단 한게당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 찾는 것으로 이해할 수 있다.
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
  • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.

 

 

■ 다익스트라 알고리즘: 구현 방법(Python)

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

 

■ 다익스트라 알고리즘: 구현 방법 성능 분석

• 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
• 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V²)이다.
• 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있다.(여기서 v는 노드의 개수이다. 파이썬을 기준으로 1초에 2천만 번 정도 연산을 수행하기 때문에 5000개 이하의 코드가 적당하다)

 

시간 초과 판정을 받을 수 있기 때문에 효율적으로 동작하는 알고리즘을 설계할 필요가 있다!

 

 

 

효율적으로 설계하는 방법 알아보기!

[알고리즘] 최단 경로 알고리즘 (2)