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* 본 포스팅은 나동빈 - 이코테 2021 강의 몰아보기 에서 학습한 내용을 포스팅합니다.
출처
■ 다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복
- 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있다.
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
- 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복이다.
- 다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복된다.
- 분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않는다.
- 분할 정복의 대표적인 예시인 퀵 정렬을 살펴보자.
- 한 번 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않는다.
- 분할 이후에 해당 피벗을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않는다.
■ 다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법
- 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요!!
- 가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토한다.
- 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려한다.
- 일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있다.
- 일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많다.
[문제] 개미전사
개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다. 여러 개의 식량창고가 일직선으로 이어져 있다. 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 빼앗을 예정이다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일적선상에 존재하는 식량차고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 알아챌 수 있다.
따라서 개미 전사가 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 한다.
- 예를 들어 식량 차고 4개가 다음과 같이 존재한다고 가정해 보자.
| 1 | 3 | 1 | 5 |
- 이때 개미 전사는 두 번째 식량 차고와 네 번째 식량창고를 선택했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있다. 개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하여라.
■ 문제 해결 아이디어
- 예시를 확인해 보자. N = 4일 때, 다음과 같은 경우들이 존재한다.
- 식량을 선택할 수 있는 경우의 수는 다음과 같이 8가지이다.
- 7번째 경우에서 8만큼의 식량을 얻을 수 있으므로 최적의 해는 8이다.
- 왼쪽부터 차례대로 식량창고를 턴다고 했을 때, 특정한 i번째 식량창고에 대해서 털지 안 털지의 여부를 결정하면, 아래 2가지 경우 중에서 더 많은 식량을 털 수 있는 경우를 선택하면 된다.
■ 답안 예시(Python)
# 정수 N을 입력 받기
n = int(input())
# 모든 식량 정보 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
d[0] = array[0]
d[1] = max(array[0], array[1])
for i in range(2, n):
d[i] = max(d[i - 1], d[i - 2] + array[i])
# 계산된 결과 출력
print(d[n - 1])
[문제] 1로 만들기
- 정수 X가 주어졌을 때, 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.
- X가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눈다.
- X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
- X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
- X에서 1을 뺀다.
- 정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 값을 1로 만들고자 한다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력해라. 예를 들어 정수가 26이면 다음과 같이 계산해서 3번의 연산이 최솟값이다.
- 26 → 25 → 5 → 1
■ 문제 해결 아이디어
- 피보나치 수열 문제를 도식화한 것처럼 함수가 호출된다.
- 최적 부분 구조와 중복되는 부분 문제를 만족한다.
그리디 파트에서 배웠던 1이 될 때까지 와는 차이가 있다. 1이 될 때까지의 문제는 해당 변수가 현재 어떤 값을 가지든 간에 항상 1을 빼는 것보다 나누는 작업이 더 값을 빠르게 줄일 수 있기 때문에 매 상황마다 단순히 나누어 떨어진다면 나눌 수 있도록 하는 아이디어가 사용될 수 있었는데 본 문제에서는 지금 당장 5로 나누었을 때 값이 더 줄 수 있는 것처럼 보이지만 다른 연산들을 적절히 섞어서 더 빠르게 값을 줄일 수 있는 경우가 존재할 수 있기 때문에 이 문제는 단순한 그리디 해법으로 해결하기 어렵다...
■ 답안 예시(Python)
# 정수 X를 입력 받기
x = int(input())
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001
# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
for i in range(2, x + 1):
# 현재의 수에서 1을 빼는 경우
d[i] = d[i - 1] + 1
# 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
if i % 2 == 0:
d[i] == min(d[i], d[i // 2] + 1)
# 현재의 수가 3로 나누어 떨어지는 경우
if i % 3 == 0:
d[i] == min(d[i], d[i // 3] + 1)
# 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
if i % 5 == 0:
d[i] == min(d[i], d[i // 5] + 1)
print(d[x])
[문제] 효율적인 화폐 구성
- N가지 종류의 화폐가 있다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 한다. 이때 각 종류의 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있다.
- 예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수이다.
- M원을 만들기 위한 최소한의 화폐 개수를 출력하는 프로그램을 작성하여라.
■ 문제 해결 아이디어
■ 답안 예시(Python)
# 정수 N, M을 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# N개의 화폐 단위 정보를 입력받기
array = []
for i in range(n):
array.append(int(input()))
# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001] * (m + 1)
# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
d[0] = 0
for i in range(n):
for j in range(array[i], m + 1):
if d[j - array[i]] != 10001: # (i - k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
d[j] = min(d[j], d[j - array[i]] + 1)
# 계산된 결과 출력
if d[m] == 10001: # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
print(-1)
else:
print(d[m])
[문제] 효율적인 화폐 구성
- n x m 크기의 금광이 있다. 금광은 1 x 1 크기의 칸으로 나누어져 있으며, 가 칸은 특정한 크기의 금이 들어있다.
- 채굴자는 첫 번째 열부터 출발하여 금을 캐기 시작한다. 맨 처음에는 첫 번째 열의 어느 행에서든 출발할 수 있다. 이후에 m - 1번에 걸쳐서 매번 오른쪽 위, 오른쪽, 오른쪽 아래 3가지 중 하나의 위치로 이동해야 한다. 결과적으로 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기를 출력하는 프로그램을 작성해라.
■ 문제 해결 아이디어
- 금광의 모든 위치에 대하여 다음의 3가지만 고려하면 된다.
- 왼쪽 위에서 오는 경우
- 왼쪽 아래에서 오는 경우
- 왼쪽에서 오는 경우
- 3가지 경우 중에서 가장 많은 금을 가지고 있는 경우를 테이블에 갱신해 주어 문제를 해결한다.
■ 답안 예시(Python)
# 테스트 케이스 입력
for tc in range(int(input())):
# 금광 정보 입력
n, m = map(int, input().split())
array = list(map(int, input().split()))
# 다이나믹 프로그래밍을 위한 2차원 DP 테이블 초기화
dp = []
index = 0
for i in range(n):
dp.append(array[index:index + m])
index += m
# 다이나믹 프로그래밍 진행
for j in range(1, m):
for i in range(n):
# 왼쪽 위에서 오는 경우
if i == 0: left_up = 0
else: left_up = dp[i - 1][j - 1]
# 왼쪽 아래에서 오는 경우
if i == n - 1: left_down = 0
else: left_down = dp[i + 1][j - 1]
# 왼쪽에서 오는 경우
left = dp[i][j - 1]
dp[i][j] = dp[i][j] + max(left_up, left_down, left)
result = 0
for i in range(n):
result = max(result, dp[i][m - 1])
print(result)
[문제] 병사 배치하기
- N명의 병사가 무작위로 나열되어 있다. 각 병사는 특정한 값의 전투력을 보유하고 있다.
- 병사를 배치할 때는 전투력이 높은 병사가 앞쪽에 오도록 내림차순으로 배치하고자 한다. 다시 말해 앞쪽에 있는 병사의 전투력이 항상 뒤쪽에 있는 병사보다 높아야 한다.
- 또한 배치 과정에서는 특정한 위치에 있는 병사를 열외 시키는 방법을 이용한다. 그러면서도 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하고 싶다.
■ 문제 해결 아이디어
- 이 문제의 기본 아이디어는 가장 긴 증가하는 부분 수열(Longest Increasing Subsequence, LIS)로 알려진 전형적인 다이나믹 프로그래밍 문제의 아이디어와 같다.
- 예를 들어 하나의 수열 array = {4, 2, 5, 8, 4, 11, 15}이 있다고 하자.
- 이 수열의 가장 긴 증가하는 부분 수열은 {4, 5, 8, 11, 15}이다.
- 본 문제는 가장 긴 감소하는 부분 수열을 찾는 문제로 치환할 수 있으므로, LIS 알고리즘을 조금 수정하여 적용함으로써 정답을 도출할 수 있다.
- 가장 긴 증가하는 부분 수열 (LIS) 알고리즘을 확인해 보자.
- D[i] = array[i]를 마지막 원소로 가지는 부분 수열의 최대 길이
- 점화식은 다음과 같다.
단순하게 각각의 원소 하나만 이용해서 수열을 만든다고 하더라도 길이는 1이 된다.
그렇기 때문에 기본적으로 각 원소를 마지막 원소로 가지는 부분 수열의 최대길이를 구한다고 했을 때, 일단 값이 1이 될 수 있게 초기화한다. i가 1일 때는 두 번째 원소인 2를 마지막 원소로 가지는 부분수열의 최대길이가 구해진다.
확인하면 2 앞의 원소가 4밖에 없는데 4가 2보다 더 크기 때문에 점화식에 따라서 값이 갱신되지 않으므로 그대로 값이 1이다. 다음으로 i가 2일 때는 세 번째 원소인 5를 마지막 원소로 가지는 부분수열의 최대길이가 구해진다.
먼저 4와 비교했을 때 5가 더 크기 때문에 첫 번째 원소 위치까지의 옵티멀 솔루션인 1에다가 1을 더한 값이 5의 옵티멀 솔루션의 값보다 더 크기 때문에 2를 넣어준다. 그 다음으로 2도 5보다 작기 때문에 1의 옵티멀 솔루션인 1에다가 1을 더한 값인 2와 비교해서 더 큰 값이 들어가도록 한다. 하지만 2라는 값이 먼저 들어가 있기 때문에 2번째 원소에 대해서는 업데이트가 이뤄지지 않는다. 이러한 단계를 7번째 원소까지 각각 점화식에 따라서 테이블을 갱신해 주면 최종적으로 남아있는 1차원 dp테이블에 남겨있는 값은 7번째 원소를 마지막 원소로 가지는 부분수열의 최대길이는 5로 설정된다. 따라서 이와 같이 dp테이블을 갱신한 뒤에 최종적으로 dp테이블에 나와있는 값 중에서 가장 큰 값을 출력하도록 만들면 우리가 만들 수 있는 증가하는 부분 수열 중에서 가장 긴 수열의 길이를 찾은 것이라고 할 수 있다.
- 가장 먼저 입력받은 병사 정보의 순서를 뒤집는다.
- 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘을 수행하여 정답을 도출한다.
- (우리가 풀고자 하는 병사 배치 문제는 가장 긴 감소하는 부분 수열을 구하는 문제와 같기 때문에 먼저 입력받은 병사정보의 순서를 뒤집은 다음에 LIS 알고리즘을 그대로 적용한다.)
■ 답안 예시(Python)
n = int(input())
array = list(map(int, input().split()))
# 순서를 뒤집어 '가장 긴 증가하는 부분 수열' 문제로 변환
array.reverse()
# 다이나믹 프로그래밍을 위한 1차원 DP 테이블 초기화
dp = [1] * n
# 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘 수행
for i in range(1, n):
for j in range(0, i):
if array[j] < array[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
# 열외해야 하는 병사의 최소 수를 출력
print(n - max(dp))
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