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알고리즘

[알고리즘] 최단 경로 알고리즘 (2)

by 딩박사 2023. 2. 17.
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* 본 포스팅은 나동빈 - 이코테 2021 강의 몰아보기 에서 학습한 내용을 포스팅합니다.

출처

동빈나 이코테

 

최단 경로 알고리즘 (1) 
 

[알고리즘] 최단 경로 알고리즘 (1)

* 본 포스팅은 나동빈 - 이코테 2021 강의 몰아보기 에서 학습한 내용을 포스팅합니다. 출처 동빈나 이코테 ■ 최단 경로 알고리즘 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미

kks2140501.tistory.com

 

 

■ 우선 순위 큐(Priority Queue)

  • 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.
  • 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우 우선순위 큐를 이용할 수 있다.
  • Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원한다.
자료구조 추출되는 데이터
스택(Stack) 가장 나중에 삽입된 데이터
큐(Queue) 가장 먼저 삽입된 데이터
우선순위 큐(Priority Queue) 가장 우선순위가 높은 데이터

 

 

■ 힙(Heap)

  • 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.
  • 값이 낮은 데이터 부터 꺼내는 방식인 최소 힙(Min Heap)과 값이 높은 데이터 부터 꺼내는 방식인 최대 힙(Max Heap)이 있다.
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다.
우선순위 큐 구현 방식 삽입 시간 삭제 시간
리스트 O(1) O(N)
힙(Heap) O(logN) O(logN)

 

 

■ 힙 라이브러리 사용 예제 : 최소 힙

import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
    	result.append(heapq.heappop(h))
    return result
    
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
▲ 특정 리스트에 데이터를 넣을 때는 heappush, 데이터를 꺼낼 때는 heappop을 사용한다. heapsort를 하면 자동으로 오름차순으로 정렬된다.

 

■ 힙 라이브러리 사용 예제 : 최대 힙

import heapq

# 내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, -value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
    	result.append(-heapq.heappop(h))
    return result
    
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]
▲ 최대 힙은 따로 제공을 하지 않기 때문에 넣을 때 부호를 바꿔서 넣고 꺼낼 때 부호를 바꿔주면 최대 힙을 이용하는 것과 같은 효과를 낼 수 있다.

 

 

■ 다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용
  • 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일
    • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
    • 현재의 최댄 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.

 

 

■ 다익스트라 알고리즘 : 동작 과정(우선순위 큐)

 

 

■ 다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법(Python)

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

 

 

■ 다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법 성능 분석

  • 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)이다.
  • 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
    • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
  • 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
    • 시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있다.
    • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있다.
      • O(ElogE) → O(ElogV²) → O(2ElogV) → O(ElogV)

 

 

■ 플로이드 워셜 알고리즘

  • 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
  • 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
    • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.
  • 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
  • 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.
  • 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
    • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다.
  • 점화식은 다음과 같다.

 

 

■ 플로이드 워셜 알고리즘 : 동작 과정

 

 

■ 플로이드 워셜 알고리즘: 구현 방법(Python)

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

 

 

■ 플로이드 워셜 알고리즘: 성능 분석

  • 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행한다.
    • 각 단계마다 O(N²)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.
  • 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N³)이다.(N이 너무 크면 시간 초과 판정을 받을 수 있다.)

 

 

[문제] 전보

어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메시지를 전송할 수 있다.

하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다.

예를 들어 X에서 Y로 향하는 통로는 있지만, Y에서 X로 향하는 통로가 없다면 Y는 X로 메시지를 보낼 수 없다. 또한 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다. 

어느 날 C도시에 위급상황이 발생해 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다. 메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다.

각도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇 개이며 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성해라.

플로이드 워셜 알고리즘을 사용하기에는 1~30000개의 노드를 처리하기에는 시간이 많이들고 또 우선순위큐를 사용하지 않고 다익스트라 알고리즘을 간단한 형태로 구현하게 되면 v제곱만큼의 시간이 소요될 수 있기 때문에 마찬가지로 시간초과판정을 받을 수 있다.
힙을 이용한 다익스트라 알고리즘 형태로 해결할 수 있다.

 

■ 문제 해결 아이디어

  • 핵심 아이디어 : 한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있다.
  • N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘을 구현한다.

 

 

■ 답안 예시(Python)

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    # X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 Z라는 의미
    graph[x].append((y, z))

def dijkstra(start):
   q = []
   # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
   heapq.heappush(q, (0, start))
   distance[start] = 0
   while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != 1e9:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_distance)

 

 

[문제] 미래 도시

미래 도시에는 1번부터 N번까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다. X번 회사에 방문에 물건을 판매하고자 한다.

특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다. 또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결 되어 있다면, 정확히 1만 틈의 시간으로 이동할 수 있다.

판매원은 소개팅에도 참석하고자 한다. 소개팅 상대는 K번 회사에 존재한다. 판매원은 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다. 따라서 판매원은 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표다. 판매원은 가능한 한 빠르게 이동하고자 한다.

판매원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성해라.

 

 

■ 문제 해결 아이디어

  • 핵심 아이디어 : 전형적인 최단 거리 문제이므로 최단 거리 알고리즘을 이용해 해결한다.
  • N의 크기가 최대 100이므로 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 효율적으로 해결할 수 있다.
  • 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에 (1번 노드에서 X까지의 최단 거리 + X에서 K까지의 최단 거리)를 계산하여 출력하면 정답 판정을 받을 수 있다.

 

 

■ 답안 예시(Python)

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= 1e9:
    print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
    print(distance)

 

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