[알고리즘] 그래프 이론 (서로소 집합)

* 본 포스팅은 나동빈 - 이코테 2021 강의 몰아보기 에서 학습한 내용을 포스팅합니다.

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출처

동빈나 이코테

 

 

■ 서로소 집합

• 서로소 집합(Disjoint Sets)란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.

 

■ 서로소 집합 자료구조

• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
• 서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원
  • 합집합(Union) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다.
  • 찾기(Find) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.
• 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조 라고 불린다.
• 여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같다.
  1. 합집합(Union) 연산을 확인하며, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다. 
     1. A와  B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
     2. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다.
  2. 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다.

 

 

■ 서로소 집합 자료구조 : 동작 과정

▲ 4번 노드의 부모 값은 1번 노드였다. 2번 노드의 루트 번호는 2번이었는데 이와 같이 더 작은 쪽인 1번 노드를 가리킬수있도록 2번 노드의 부모를 1로 바껴 테이블이 갱신되는걸 확인할 수 있다. 다만 여기서 유의할 점은 현재 이 테이블은 부모 노드에 대해서 기록하고 있는 테이블이라고 볼수 있다. 확인해보면 3번 노드와 4번 노드는 같은 집합으로 연결되어 있다고 볼 수 있다. 하지만 3번 노드의 부모를 확인해보면 2번 노드이기 때문에 4번 노드와 부모가 다르다는걸 확인할 수 있다. 그래서 실제로는 두 원소가 같은 집합에 포함되어 있는지 확인하기 위해서 루트 노드를 찾도록 해야한다. 즉 3번 노드의 부모를 확인한 뒤에 2번 노드가 나오고 다시한번 2번 노드에서 부모를 확인해서 1번 노드까지 갔을 때 1번노드는 자기 자신이 부모이기 때문에 일번 노드가 루트 라는 것을 알 수 있고 3번 노드의 루트 노드인 1과 4번 노드의 루트 노드인 1번이 서로 같기 떄문에 3번과 4번은 서로 같은 집합에 속해 있다고 판단할 수 있다. 이 테이블은 부모테이블이고 루트 테이블이 아니라는 점을 주의해야한다.

 

 

■ 서로소 집합 자료구조 : 연결성

• 서로소 집합 자료구조에서는 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있다.

• 기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없다.
  • 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 한다.
• 다음 예시에서 노드 3의 루트를 찾기 위해서는 노드 2를 거쳐 노드 1에 접근해야 한다.

 

 

 

■ 서로소 집합 자료구조: 구현 방법(Python)

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

 

 

■ 서로소 집합 자료구조 : 기본적인 구현 방법의 문제점

• 합집합(Union) 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find) 함수가 비효율적으로 동작한다.
• 최악의 경우에는 찾기(Find) 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V)이다.
  • 다음과 같이 {1, 2, 3, 4, 5}의 총 5개 원소가 존재하는 상황을 확인해보자.
  • 수행된 연산들 : Union(4, 5), Union(3, 4), Union(2, 3), Union(1, 2)

 

 

■ 서로소 집합 자료구조 : 경로 압축

• 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용할 수 있다.
  • 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다.

# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parend(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

• 경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 노드가 바로 부모 노드가 된다.
• 동일한 예시에 대해서 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신 된다.
• 기본적인 방법에 비해서 시간 복잡도가 개선된다.

 

 

■ 서로소 집합 자료구조 : 경로 압축(Python)

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

 

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■ 서로소 집합을 활용한 사이클 판별

• 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.
  • 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.
• 사이클 판별 알고리즘은 다음과 같다.
  1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
     1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합(Union) 연산을 수행한다.
     2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.
  2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

 

 

■ 서로소 집합을 활용한 사이클 판별 : 구현 방법(Python)

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

 

 

 

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